நேர்மறை அரை-திட்டவட்டமான மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்டமான அணி இடையே வேறுபாடு உள்ளதா?


மறுமொழி 1:

அங்கு நிச்சயமாக (பா டம் டி.எஸ்.எஸ்) உள்ளது!

முதலில் இரண்டு கருத்துகளையும் வரையறுப்போம்:

ஒரு ஹெர்மிடியன் அணி

ACmxmA \in \mathbb{C}^{mxm}

நேர்மறை அரை-திட்டவட்டமாக இருந்தால்

x^{*}Ax\geq0\ \ \ \forall x\in \mathbb{C}^{m}\tag*{}

எங்கே

xx^{*}

x இன் ஒருங்கிணைந்த இடமாற்றம் ஆகும்.

ஒரு ஹெர்மிடியன் அணி

ACmxmA \in \mathbb{C}^{mxm}

என்றால் அரை திட்டவட்டமானது

x^{*}Ax > 0\ \ \ \ \forall x\in \mathbb{C}^{m}\ \ \ \ \operatorname{where}\ \ x \neq 0\tag*{}

எங்கே

xx^{*}

x இன் ஒருங்கிணைந்த இடமாற்றம் ஆகும்.

சரி, எனவே ஒரே வித்தியாசம் தெரிகிறது

\geq

Vs

>>

.

இது உள்ளுணர்வாக எதைக் குறிக்கிறது என்பதைப் பற்றி சிந்திக்கலாம்:

நேர்மறையான திட்டவட்டமான அணி என்பது நேர்மறை எண்ணின் மேட்ரிக்ஸ் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். நேர்மறை அரை-திட்டவட்டமான அணி என்பது எதிர்மறை எண்ணின் மேட்ரிக்ஸ் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும்.

இதன் பொருள், நீங்கள் எந்தவொரு திசையனையும் நேர்மறையான திட்டவட்டமான மேட்ரிக்ஸால் பெருக்கினால், அசல் திசையன்கள் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் திசையன் ஒரே திசையில் செல்லும், அல்லது இன்னும் சுருக்கமாக, இரண்டிற்கும் இடையிலான கோணம் குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்

2π2\pi

.

மற்றொரு முக்கியமான சொத்து:

நேர்மறையான திட்டவட்டமான மேட்ரிக்ஸைப் பொறுத்தவரை, அதன் அனைத்து சம மதிப்புகளும் நேர்மறையானவை. நேர்மறையான அரை-திட்டவட்டமான மேட்ரிக்ஸைப் பொறுத்தவரை, அதன் அனைத்து சமமான மதிப்புகளும் எதிர்மறையானவை.

சரி, இப்போது இரண்டு கருத்துகளைப் பற்றியும் நமக்கு கொஞ்சம் புரிதல் இருப்பதால், நேர்மறை திட்டவட்டமானது நேர்மறை அரை-திட்டவட்டத்தை விட கடுமையான தேவை என்று தெரிகிறது. இதை நாம் இன்னும் கொஞ்சம் சிறப்பாகச் சொல்லலாம், இறுதியாக இரண்டிற்கும் இடையிலான வித்தியாசத்தை அடையலாம்:

ஒரு நேர்மறையான செமிடிஃபைனைட் மேட்ரிக்ஸ் அதன் அனைத்து ஈஜென்வெல்யூக்களும் அன்ஜெரோவாக இருந்தால் நேர்மறையான திட்டவட்டமானதாகும், அதாவது முட்டாள்தனமாக இருந்தால்.